Seminar Numerische Methoden und Modellierung mit GNU Octave

Inhaltsverzeichnis

• Abstract
• Zielgruppe
• Voraussetzungen
• Lernziele
• Agenda (3 Tage)
• Praxisworkshops
• Numerische Qualität und Robustheit

Abstract

Dieses Seminar vermittelt numerische Kernmethoden in GNU Octave für Modellierung, Simulation und wissenschaftliches Rechnen. Im Fokus stehen lineare Algebra, Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme, Interpolation, numerische Ableitung und Integration sowie die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Neben der Anwendung wird systematisch an numerischer Qualität gearbeitet: Kondition, Skalierung, Stabilität, Fehlerfortpflanzung und Toleranzmanagement. Praxisübungen führen von einfachen Modellgleichungen bis zu parametrierten Simulationen, inklusive Visualisierung und Ergebnisvalidierung. Das Seminar liefert ein belastbares Fundament für weiterführende Themen wie Optimierung, Regelung und Signalverarbeitung.

Zielgruppe

• Engineering, Physik, Data Modeling, Simulation
• Entwicklung und Validierung mathematischer Modelle
• Lehrveranstaltungen mit Fokus auf Numerik

Voraussetzungen

• GNU Octave Grundlagen
• Mathematische Grundlagen: Algebra, Funktionen, Ableitungen (basal)

Lernziele

• Lineare Gleichungssysteme sicher lösen und beurteilen
• Eigenwerte und -vektoren anwenden und interpretieren
• Interpolation und Approximation einsetzen
• Numerische Integration und Differentiation praxisnah nutzen
• ODE-Modelle simulieren und Ergebnisse validieren
• Numerische Fehler systematisch kontrollieren

Agenda (3 Tage)

• Tag 1
  • Lineare Algebra in Octave: Matrizen, Rang, Kondition, Faktorisierungen
  • Gleichungssysteme: direkt vs. iterativ, Stabilität, Skalierung
  • Eigenwertprobleme: Schwingungen, Stabilität, Modalinterpretation
  • Übung: Modellmatrix aufbauen und analysieren
• Tag 2
  • Interpolation: linear, spline, Approximation, Glättung
  • Numerische Integration und Ableitung: Methoden, Fehlerbilder
  • Root-Finding: Nullstellen, Konvergenz, Startwertstrategien
  • Übung: Kalibrierung eines einfachen Modells über Nullstellen/Fehlerfunktion
• Tag 3
  • ODE-Grundlagen: Zustandsraum, Initialwerte, Parameter
  • Simulation: Solverwahl, Toleranzen, Ereignisse (konzeptionell)
  • Validierung: Referenzlösungen, Schrittweitenstudien, Sensitivität
  • Fallstudie: dynamisches System modellieren, simulieren, auswerten

Praxisworkshops

• Workshop A: Kondition und Stabilität
  • Testmatrix erzeugen (gut konditioniert und schlecht konditioniert)
  • Konditionszahl bestimmen und interpretieren
  • Gleichungssystem mit beiden Matrizen lösen
  • Kleine Störung auf rechte Seite geben und Lösungsänderung messen
  • Skalierung testen und Robustheit vergleichen
• Workshop B: Interpolation und Fehlervergleich
  • Messpunkte einer nichtlinearen Funktion synthetisch erzeugen
  • Verschiedene Interpolationen anwenden
  • Interpolierte Kurve gegen „wahre“ Funktion vergleichen
  • Fehlermaß definieren (z. B. RMSE) und bewerten
  • Overfitting-ähnliche Effekte bei zu „glatten“ Verfahren diskutieren (technisch)
• Workshop C: ODE-Simulation mit Parameterstudie
  • Zustandsmodell definieren (z. B. 2. Ordnung als 1. Ordnung)
  • ODE-Solver aufrufen und Basislauf durchführen
  • Parameterbereich definieren und Sweep implementieren
  • Ergebnisse pro Parameterlauf speichern
  • Plots: Zustandsverläufe, Vergleich mehrerer Läufe, Kennzahlplot

Numerische Qualität und Robustheit

• Toleranzen: absolute vs. relative
• Skalen: Einheiten- und Größenordnungsmanagement
• Validierung: Vergleichsläufe, Sensitivität, Plausibilitätsprüfungen
• Dokumentation: Annahmen, Parameter, Randbedingungen als Code-Kommentare und Konfigurationsblock